Question

（2013•宜賓二模）設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．
（Ⅰ） 若橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和離心率；
（Ⅱ） 若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上除M、N外的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，求證：k_PM•k_PN為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，利用橢圓的定義，即可寫出橢圓C的方程和離心率；
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出k_PM、k_PN，即可證明k_PM•k_PN為定值．

解答：（Ⅰ）解：根據(jù)已知條件：2a=4，即a=2，…（1分）
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1．…（2分）
又A(1，

3

2

)為橢圓C上一點(diǎn)，則

1

4

+

9

4b2

=1，…（3分）
解得b²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
∴c=

a2-b2

=1，…（5分）
∴橢圓C的離心率.e=

c

a

=

1

2

…（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)M、N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)M（x₀，y₀），則N（-x₀，-y₀），
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，…（8分）

x2

a2

+

y2

b2

=1…（9分）
即

y

2 0

=b2(1-

x 2 0

a2

)=

b2

a2

?(a2-

x

2 0

)，y2=b2(1-

x2

a2

)=

b2

a2

?(a2-x2)…（10分）
∴

k

PM

•kPN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=

b2 a2 ?(a2-x2)- b2 a2 ?(a2- x 2 0 )

x2- x 2 0

=-

b2

a2

為定值．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．