Question

（2012•鄭州二模）選修4一5：不等式選講
設函數f（x）=|2x-a|+5x，其中a＞0．
（Ⅰ）當a=3時，求不等式f（x）≥5x+1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤-1}，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=3時，f（x）≥5x+1可化為|2x-3|≥1，由此求得不等式f（x）≥5x+1的解集．
（Ⅱ） 由f（x）≤0 得|2x-a|+5x≤0，此不等式化為不等式組

x≥ a 2 2x-a+5x≤0

，或

x＜ a 2 -(2x-a)+5x≤0

．分別求得這兩個不等式組的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）≥5x+1可化為|2x-3|≥1．----------（2分）
由此可得  x≥2 或 x≤1．
故不等式f（x）≥5x+1的解集為 {x|x≥2 或 x≤1{．-------------（5分）
（Ⅱ） 由f（x）≤0 得|2x-a|+5x≤0，此不等式化為不等式組

x≥ a 2 2x-a+5x≤0

，或 

x＜ a 2 -(2x-a)+5x≤0

．------------（7分）
即

x≥ a 2 x≤  a 7

，或 

x＜ a 2 x≤- a 3

．
因為a＞0，所以不等式組的解集為 {x|x≤-

a

3

}，
由題設可得-

a

3

=-1，故 a=3．---------------（10分）

點評：本題主要考查分式不等式的解法，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．