Question

已知函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

．（a∈R）
（1）求證：f（x）是增函數(shù)；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值．．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，結(jié)合已知只要判斷f（x₁）-f（x₂）＜0即可
（2）方法1由題意可得f（-x）=-f（x），代入可求a，進(jìn)而可求f（x）
方法2：由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，代入可求a

解答：證明：（1）∵f（x）的定義域為R，設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．
（2）方法1∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，2a=

2

2x+1

+

2

2-x+1

=

2

2x+1

+

2.2x

1+2x

=

2(2x+1)

2x+1

=2
解得：a=1
∴f(x)=1-

2

2x+1

．
方法2：函數(shù)的定義域是R，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=a-1=0．
∴a=1

點評：單調(diào)性的定義是證明函數(shù)具有單調(diào)性的常用方法，其基本步驟中的關(guān)鍵是作差后的變形形式，而奇函數(shù)性質(zhì)f（0）=0的應(yīng)用可以簡化基本運算