Question

 已知函數(shù)的圖象過點，且在內單調遞減，在上單調遞增.

（1）求的解析式；

（2）若對于任意的，不等式恒成立，試問這樣的是否存在.若存在，請求出的范圍，若不存在，說明理由

 

 

 

 

 

 

 

 

蚌埠二中2010---2012學年度高三十月質量檢測數(shù)學（文）

 

Answer 1

【答案】

 

解： （1）∵，

由題設可知：即sinθ≥1    ∴sinθ=1.    

從而a= 3(1),∴f(x)= 3(1)x³+2(1)xx+c,而又由f(1)= 6(37)得c=3(22).

∴f(x)= 3(1)x³+2(1)xx+3(22)即為所求.                            

(2)由=（x+2）（x－1），易知f(x)在(－∞,－2)及(1,+∞)上均為增函數(shù)，在(－2,1)上為減函數(shù).         

①當m＞1時，f(x)在[m,m+3]上遞增,故f(x)_max=f(m+3), f(x)_min=f(m)

由f(m+3)－f(m)= 3(1)(m+3)³+2(1)(m+3) (m+3)－3(1)m³－2(1)m²+2m=3m²+12m+2(15)≤2(45)，

得－5≤m≤1.這與條件矛盾，故 不存在.               

② 當0≤m≤1時，f(x)在[m,1]上遞增, 在[1,m+3]上遞增

∴f(x)_min=f(1), f(x)_max=max{ f(m),f(m+3) },

又f(m+3)－f(m)= 3m²+12m+2(15)=3(m+2)²－2(9)＞0(0≤m≤1)∴f(x)_max= f(m+3)∴|f(x₁)－f(x₂)|≤f(x)_max－f(x)_min= f(m+3)－f(1)≤f(4)－f(1)= 2(45)恒成立. 

故當0≤m≤1時，原不等式恒成立.綜上，存在m且m∈[0,1]合題意.