Question

設(shè)a＞0，函數(shù)．
（I）若f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，只要上恒成立，將a參數(shù)分離即可求出a的范圍；
（2）欲求f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值，即研究函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)性，對a進(jìn)行討論，求出函數(shù)的最值．
解答：解：（I）對函數(shù)．（2分）
要使f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，只要上恒成立，
即上恒成立（4分）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213731386128826/SYS201310232137313861288018_DA/4.png">上單調(diào)遞減，所以上的最小值是，
注意到a＞0，所以a的取值范圍是．（6分）
（II）解：①當(dāng)時(shí)，由（I）知，f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，
此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值是．（8分）
②當(dāng)，
解得．（10分）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213731386128826/SYS201310232137313861288018_DA/12.png">，
所以上單調(diào)遞減，
此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值是．（13分）
綜上，當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值是；
當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值是．（14分）
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，極值，最值等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．