Question

8．已知所P（0，3），點(diǎn)A是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍是[5，8]．

Answer 1

分析 設(shè)A（x，y），則B（-x，-y）根據(jù)向量坐標(biāo)關(guān)系，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)A（x，y），則B（-x，-y），
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x，y-3）•（-x，-y-3）=-x²-（y-3）（y+3）=-x²-y²+9，
∵A是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的任意一點(diǎn)，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，即y²=1-$\frac{{x}^{2}}{4}$，-2≤x≤2，
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-x²-y²+9=-x²-（1-$\frac{{x}^{2}}{4}$）+9=-$\frac{3{x}^{2}}{4}$+8，
∵-2≤x≤2，
∴當(dāng)x=0時(shí)，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$最大，此時(shí)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=8，
當(dāng)x=2或-2時(shí)，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$最小，此時(shí)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=8-3=5，
即5≤$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤8，
故答案為：[5，8]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，利用消元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．