分析:①對于條件:“x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立”,令x=-3,再結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)可得f(-3)=f(3)=0,代入已知條件可得函數(shù)的周期為6,從而得到f(2010)=-2;
②欲證“直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對稱軸”,即證f(-6+x)=f(-6-x);
③當x
1,x
2∈[0,3]且x
1≠x
2時,都有
>0,說明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),再用周期性的奇偶性可得結(jié)論不正確;
④由①的結(jié)論可知在區(qū)間[-9,9]上f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,再結(jié)合單調(diào)函數(shù)根的分布可得結(jié)論正確.
解答:解:對于①,先令x=3,即有f(-3)=f(3)+f(3),
再依據(jù)函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),有f(-3)=f(3),得f(3)=0,
這樣f(x-6)=f(x)+f(3)=f(x)函數(shù)f(x)的周期就是6,
因此f(2010)=f(335×6)=f(0)=-2;
對于②,∵f(x-6)=f(x)+f(3),
又∵f(-x-6)=f(-x)+f(3),且f(-x)=f(x)
∴f(-6+x)=f(-6-x)
∴直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對稱軸,故②對;
對于③,首先根據(jù):當x
1,x
2∈[0,3]且x
1≠x
2時,都有
>0,
說明函數(shù)在區(qū)間[0,3]上是增函數(shù),再結(jié)合函數(shù)的周期為6,
將區(qū)間[0,3]右移6個單位,可得函數(shù)在[6,9]上為增函數(shù)
又∵函數(shù)為偶函數(shù),在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反
∴函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為減函數(shù),可得③不正確;
對于④,根據(jù)①的結(jié)論,f(-3)=f(3)=0,再結(jié)合函數(shù)周期為6
得f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,
再根據(jù)在某個區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)至多有一個零點,
得函數(shù)f(x)在[-9,9]上只有以上4個零點,所以④正確.
故答案為①②④.