Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）已知函數(shù)f（x）=

-x3+x2+bx+c，(x＜1) alnx，(x≥1)

和圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5．
（1）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值；
（3）若函數(shù)y=f（x）圖象上存在兩點(diǎn)P，Q，使得對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a都滿足△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5，圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，即可求得實(shí)數(shù)b，c的值；
（2）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x³+x²，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算函數(shù)值，從而可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值；
（3）設(shè)P（x₁，f（x₁）），因?yàn)镻Q中點(diǎn)在y軸上，所以Q（-x₁，f（-x₁）），根據(jù)OP⊥OQ，可得

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，分類討論，確定函數(shù)的解析式，利用

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x³+x²+bx+c，∴f′（x）=-3x²+2x+b
∵函數(shù)在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5，∴f′（-1）=-5
∴-3-2+b=-5，∴b=0
∵f（0）=0，∴c=0
∴b=0，c=0
（2）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x³+x²，∴f′（x）=-3x²+2x
令f′（x）=0有-3x²+2x=0，∴x=0或x=

2

3

令f′（x）＞0，可得0＜x＜

2

3

；令f′（x）＜0，∵-1≤x≤1，∴-1≤x＜0或

2

3

＜x≤1
∴函數(shù)在-1，0，

2

3

，1出取得最值
∵f（-1）=2，f（0）=0，f（

2

3

）=

4

27

，f（1）=0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為0；
（3）設(shè)P（x₁，f（x₁）），因?yàn)镻Q中點(diǎn)在y軸上，所以Q（-x₁，f（-x₁）），
∵OP⊥OQ，∴

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1
①當(dāng)x₁=1時(shí)，f（x₁）=0；當(dāng)x₁=-1時(shí)，f（-x₁）=0，∴

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

≠-1；
②當(dāng)-1＜x₁＜1時(shí)，f（x₁）=-x13+x12，f（-x₁）=x13+x12，代入

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，可得(-x13+x12)(x13+x12)=x12，∴x14-x13+1=0，無(wú)解；
③當(dāng)x₁＞1時(shí)，f（x₁）=alnx₁，f（-x₁）=x13+x12，代入

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，可得

1

a

=(x1+1)lnx1；
設(shè)g（x₁）=（x₁+1）lnx₁（x₁＞1），∴g′（x₁）=lnx₁+

x1+1

x1

＞0，∴g（x₁）是增函數(shù)
∵g（1）=0，∴g（x₁）值域是（0，+∞）
∴對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，

1

a

=(x1+1)lnx1恒有解，滿足條件
④由P，Q橫坐標(biāo)的對(duì)稱性可得，當(dāng)x₁＜-1時(shí)，f（x₁）=-x13+x12，f（-x₁）=aln（-x₁），
代入

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，可得

1

a

=(-x1+1)ln(-x1)
設(shè)h（x₁）=（-x₁+1）ln（-x₁）（x₁＜-1），∴h′（x₁）=-ln（-x₁）-

x1-1

x1

＜0，∴h（x₁）是減函數(shù)
∵h(yuǎn)（-1）=0，∴h（x₁）值域是（0，+∞）
∴對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，

1

a

=(-x1+1)ln(-x1)恒有解，滿足條件
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確分類，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．