,設(shè)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù),且f(2)=0,則.
(i)f(
32
)=
 

(ii)設(shè)S為f(x)=0在區(qū)間[0,20]內(nèi)的所有根之和,則S的最小值為
 
分析:(i)利用奇函數(shù)定義和周期函數(shù)性質(zhì)解之;
(ii)通過求f(x)一個周期內(nèi)使f(x)=0的所有根,進而求出[0,20]內(nèi)的所有根之和.
解答:解:(i)因為f(x)是R上的以3為周期的奇函數(shù),
所以f(-x)=-f(x),f(x+3)=f(x),
則f(-
3
2
)=-f(
3
2
)且f(-
3
2
)=f(-
3
2
+3)=f(
3
2
),
所以-f(
3
2
)=f(
3
2
),
解得f(
3
2
)=0.
(ii)因為f(x)R上以3為周期的奇函數(shù)且f(2)=0,
所以f(1)=-f(-1)=-f(-1+3)=-f(2)=0
所以在x∈[0,3]一個周期內(nèi)至少有f(0)=0,f(1)=0,f(
3
2
)=0,f(2)=0,f(3)=0,
所以在區(qū)間[0,20]內(nèi)f(x)=0至少有根0,1,
3
2
,2,3,4,
9
2
,5,6,…,17,18,19,
39
2
,20.
所以Smin=
20(1+20)
2
+
7(
3
2
+
39
2
)
2
=283.5
點評:本題主要考查函數(shù)的周期性和奇偶性,同時考查等差數(shù)列求和.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
12
對稱,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

例2.設(shè)f(x)是定義在[-3,
2
]上的函數(shù),求下列函數(shù)的定義域(1)y=f(
x
-2)
(2)y=f(
x
a
)(a≠0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,而當x∈[2,3]時,g(x)=-x2+4x-4.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)對任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|;
(Ⅲ)對任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:|f(x2)-f(x1)|≤1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù),如圖表示該函數(shù)在區(qū)間(-2,1]上的圖象,則f(2013)+f(2014)=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•內(nèi)江一模)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對任意x∈R,都有f(x-2)=f(x+2)且當x∈[-2,0]時,f(x)=(
1
2
x-1,若在區(qū)間(-2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3個不同的實數(shù)根,則a的取值范圍是
34
,2)
34
,2)

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