已知拋物線y2=2px（p＞0）有一個內(nèi)接直角三角形，直角頂點在原點，斜邊長為2
13
，一直角邊的方程是y=2x，求拋物線的方程．
分析：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求得交點坐標，再利用斜邊長為2
13
，即可求得拋物線的方程．
解答：解：因為一直角邊的方程是y=2x，所以另一直角邊的方程是y=-
1
2
x．
由
y=2x
y2=2px
，解得
x=
p
2
y=p
或
x=0
y=0
（舍去）；
由
y=-
1
2
x
y2=2px
，解得
x=8p
y=-4p
或
x=0
y=0
（舍去），
∴三角形的另兩個頂點為(
p
2
，p)和（8p，-4p）．
∴
(
p
2
-8p)2+(p+4p)2
=2
13
，解得p=
4
5
，
故所求拋物線的方程為y2=
8
5
x．
點評：本題考查拋物線的標準方程，解題的關鍵是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求得交點坐標，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l．
（1）求拋物線上任意一點Q到定點N（2p，0）的最近距離；
（2）過點F作一直線與拋物線相交于A，B兩點，并在準線l上任取一點M，當M不在x軸上時，證明：
kMA+kMBkMF
是一個定值，并求出這個值．（其中kMA，kMB，kMF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•聊城一模）已知拋物線y2=2px（p＞0），過點M（2p，0）的直線與拋物線相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點．求證：直線AB經(jīng)過點M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標原點．

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