Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項公式為（　　）

• A． ${a_n}=\frac{1}{n}$
• B． ${a_n}=\frac{1}{n-1}$
• C． ${a_n}=\frac{n}{n+1}$
• D． ${a_n}=\frac{1}{n+1}$

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$（n∈N^*），可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，公差為1，首項為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n．
則數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=$\frac{1}{n}$．
故選：A．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．