Question

已知為常數(shù)，且，函數(shù)，

（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)和（），使得對(duì)每一個(gè)，直線與曲線都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)和最大的實(shí)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為,當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(3) 當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)和，使得對(duì)每一個(gè)，直線與曲線都有公共點(diǎn)，可得.

【解析】

試題分析：(1) 由可解得的值；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，對(duì)進(jìn)行討論，解，分別可得單調(diào)遞增與遞減區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，，求出導(dǎo)數(shù)判斷在的變化情況，得在區(qū)間內(nèi)值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720081586022050/SYS201411172008256261200047_DA/SYS201411172008256261200047_DA.025.png">，假設(shè)存在題目中要求的點(diǎn)，那么每一個(gè)，直線與曲線都沒(méi)有公共點(diǎn)．

【解析】
(1)由，得； 2分

（2）由（Ⅰ），．定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720081586022050/SYS201411172008256261200047_DA/SYS201411172008256261200047_DA.029.png">． .3分

從而， ..4分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720081586022050/SYS201411172008256261200047_DA/SYS201411172008256261200047_DA.030.png">，所以

當(dāng)時(shí)，由得，由得；5分

當(dāng)時(shí)，由得，由得；6分

因而，　當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為， ..7分

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為． .8分

(3)當(dāng)時(shí)，．．令，則．

當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

		單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

10分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720081586022050/SYS201411172008256261200047_DA/SYS201411172008256261200047_DA.050.png">，所以在區(qū)間內(nèi)值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720081586022050/SYS201411172008256261200047_DA/SYS201411172008256261200047_DA.025.png">． .11分

由此可得，

若，則對(duì)每一個(gè)，直線與曲線都有公共點(diǎn)， .12分

并且對(duì)每一個(gè)，直線與曲線都沒(méi)有公共點(diǎn)． .13分

綜合以上，當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)和，使得對(duì)每一個(gè)，直線與曲線都有公共點(diǎn)． .14分

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用；2.運(yùn)算求解能力.