Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+2a（a為實常數(shù)）．
（1）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-6≤x≤4}，求a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x+a）-2a，當(dāng)a=3且3＜m＜6時，解關(guān)于x的不等式f（x）-g（x）≥m．

Answer 1

分析 （1）先求得不等式f（x）≤3的解集，再根據(jù)它的解集為{x|-6≤x≤4}，求得a的值．
（2）不等式即|x-3|-|x|+6≥m，結(jié)合條件，分類討論，求得x的范圍．

解答 解：（1）由f（x）=|x-a|+2a≤3得，|x-a|≤3-2a，
即2a-3≤x-a≤3-2a，解得3a-3≤x≤3-a．
又不等式f（x）≤3的解集為{x|-6≤x≤4}，所以$\left\{\begin{array}{l}3a-3=-6\\ 3-a=4\end{array}\right.$，解得a=-1．
（2）∵g（x）=f（x+a）-2a=|x|，當(dāng)a=3且3＜m＜6時，
不等式即f（x）-g（x）=|x-a|+2a-|x|=|x-3|-|x|+6≥m，
當(dāng)x≥3時，不等式即x-3-x+6≥m，求得3≥m，不滿足3＜m＜6；
當(dāng)0≤x＜3時，不等式為3-x-x+6≥m，求得$x≤\frac{9-m}{2}$，
由于$\frac{3}{2}＜\frac{9-m}{2}＜3$，故有 $0≤x≤\frac{9-m}{2}$；
當(dāng)x＜0時，得9≥m，滿足條件3＜m＜6，故不等式成立，∴x＜0．
綜上所述，不等式的解集為$\left\{{x|x≤\frac{9-m}{2}}\right\}$．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．