Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³-2ax²+b（a＞0）在區(qū)間[-2，1]上的最大值是5，最小值是-11．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求曲線y=f（x）在x=-1處的切線方程；
（3）若t∈[-1，1]時，f′（x）+tx≤0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax³-2ax²+b，∴f^′（x）=3ax²-4ax=ax（3x-4）
令f^′（x）=0解得x₁=0，∉[-2，1]（舍去）
由于a＞0，f（x）在x∈[-2，0]上單調遞增，在x∈[0，1]上單調遞減，
∴f（0）必為最大值，而f（0）=5，因此b=5
由a＞0，∴-a+b＞-16a+b，即f（1）＞f（-2）
則有f（x）_min=f（-2）=-16a+b=-16a+5=-11，∴a=1
∴f（x）=x³-2x²+5
（2）由（1）及題意得，f（-1）=2且f^′（x）=3x²-4x
∴曲線在x=-1處的切線斜率k=f^′（-1）=3（-1）²-4（-1）=7
∴曲線在x=-1處的切線方程為y-2=7（x+1），即7x-y+9=0
（3）由（2）及題意得f′（x）+tx≤0等價于3x²-4x+tx≤0
令g（t）=xt+3x²-4x
則所求問題等價于g（t）≤0在∈[-1，1]上恒成立求x的取值范圍，
為此只需即解得0≤x≤1．
故所求是實數(shù)x的取值范圍為[0，1]
分析：（1）由導函數(shù)f^′（x）=3ax²-4ax=ax（3x-4）即a＞0可知f（x）在x∈[-2，0]上單調遞增，在x∈[0，1]上單調遞減，可知f（0）=5，f（-2）=-11，可解ab的值，解析式可求；
（2）由（1）可求x=-1處的斜率，可寫方程；
（3）構造關于t的函數(shù)，則所求問題等價于g（t）≤0在∈[-1，1]上恒成立求x的取值范圍，解方程組即可．
點評：本題為函數(shù)導數(shù)的綜合應用，正確表示出函數(shù)在閉區(qū)間的最值是解決問題的關鍵，屬中檔題．