Question

（2008•深圳二模）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)上的點(diǎn)P(2，

3

)，滿(mǎn)足線(xiàn)段PF₁的中垂線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F₂．直線(xiàn)l：y=kx+m為動(dòng)直線(xiàn)，且直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓C上存在點(diǎn)Q，滿(mǎn)足

OA

+

OB

=λ

OQ

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)λ取何值時(shí)，△ABO的面積最大，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法求橢圓的方程，設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，根據(jù)在橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)上的點(diǎn)P(2，

3

)，滿(mǎn)足線(xiàn)段PF₁的中垂線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F₂．可得幾何量之間的關(guān)系，進(jìn)而可得橢圓方程；
（Ⅱ）減法直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=2

，消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由此可得

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2 .

，根據(jù)

OA

+

OB

=λ

OQ

，可得

xQ= 1 λ (x1+x2) yQ= 1 λ (y1+y2).

利用點(diǎn)Q在橢圓上，可得方程4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．進(jìn)而可確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍
（Ⅲ）由于|AB|=

1+k2

|x1-x2|，點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離d=

|m|

1+k2

，故可表示△AOB的面積，可整理成關(guān)于λ的函數(shù)S=

2

4

λ2(4-λ2)

，進(jìn)而可求△ABO的面積最大值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c，
依題意有

a2 c =2 (2c)2-(2-c)2=3.

解得

c=1 a= 2 .

∴b=1．
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．        　　　 　 …3分
（Ⅱ）由

y=kx+m x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2 .

…5分y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+2k2

．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則λ=0．
（2）當(dāng)m≠0時(shí)，點(diǎn)A、B不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則λ≠0，
由

OA

+

OB

=λ

OQ

，得

xQ= 1 λ (x1+x2) yQ= 1 λ (y1+y2).

即

xQ= -4km λ(1+2k2) yQ= 2m λ(1+2k2) .

∵點(diǎn)Q在橢圓上，
∴有[

-4km

λ(1+2k2)

]2+2[

2m

λ(1+2k2)

]2=2，
化簡(jiǎn)，得4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．
∵1+2k²≠0，
∴有4m²=λ²（1+2k²）．…①…7分
又∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²），
∴由△＞0，得1+2k²＞m²．…②…8分
將①、②兩式，得φ（x）=2elnx（e．∵m≠0，∴λ²＜4，則-2＜λ＜2且λ≠0．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)λ的取值范圍是-2＜λ＜2． …9分
注：此題可根據(jù)圖形得出當(dāng)m=0時(shí)λ=0，當(dāng)A、B兩點(diǎn)重合時(shí)λ=±2．
如果學(xué)生由此得出λ的取值范圍是-2＜λ＜2可酌情給分．
（Ⅲ）∵|AB|=

1+k2

|x1-x2|，點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離d=

|m|

1+k2

，
∴△AOB的面積S=

1

2

|m||x1-x2|=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 |m| 1+2k2-m2

1+2k2

．           …12分
由①有1+2k2=

4m2

λ2

，代入上式并化簡(jiǎn)，得S=

2

4

λ2(4-λ2)

．∵

λ2(4-λ2)

≤2，
∴S≤

2

2

．                    …13分
當(dāng)且僅當(dāng)λ²=4-λ²，即λ=±

2

時(shí)，等號(hào)成立．
∴當(dāng)λ=±

2

時(shí)，△ABO的面積最大，最大值為

2

2

． …14分．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，主要考查待定系數(shù)法求圓錐曲線(xiàn)的方程，要注意橢圓的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系為：a²=b²+c²；求解直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，通常是聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求解．