Question

如圖，設(shè)橢圓C：（a＞b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF₂垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且，若過 A，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓恰好與直線l：相切，過定點(diǎn) M（0，2）的直線l₁與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)（點(diǎn)G在點(diǎn)M，H之間）。

（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l₁的斜率k>0，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由；
（3）若實(shí)數(shù)λ滿足，求λ的取值范圍。

Answer 1

解：（1）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111107/201111071410430621187.gif">
所以F₁為F₂Q中點(diǎn)
設(shè)Q的坐標(biāo)為（-3c，0），
因?yàn)锳Q⊥AF₂，
所以b²=3c×c=3c²，a²=4c×c=4c²，且過A，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓的圓心為F₁（-c，0），半徑為2c
因?yàn)樵搱A與直線l相切，
所以
解得c=1，
所以a=2，
故所求橢圓方程為。
（2）設(shè)l₁的方程為y=kx+2（k>0）
由得（3+4k²）x²+16kx+4=0
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則
所以（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）
=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4）
（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，k（x₂-x₁））
由于菱形對角線互相垂直，因此
所以（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0
故（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k]=0
因?yàn)閗>0，
所以x₂-x₁≠0
所以（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k=0，
即（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0
所以
解得
即
因?yàn)閗>0，
所以
故存在滿足題意的點(diǎn)P且m的取值范圍是。
（3）①當(dāng)直線l₁斜率存在時，
設(shè)直線l₁方程為y=kx+2，代入橢圓方程
得（3+4k²）x²+16kx+4=0
由△>0，得
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
則
又，
所以（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2）
所以x₁=λx₂
所以
所以
所以
整理得
因?yàn)椋?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111107/20111107141043468955.gif">
所以，即
所以
解得
又0＜λ＜1，
所以7-4＜λ＜1。
②當(dāng)直線l₁斜率不存在時，直線l₁的方程為x=0，
此時，，，
所以
所以，
即所求λ的取值范圍是。