Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB與平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=AD．
（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；
（2）設(shè)E是棱PD上一點(diǎn)，且PE=PD，求異面直線AE與PB所成的角．

Answer 1

解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
∵PA⊥平面ABCD，PB與平面ABC成60°，
∴∠PBA=60°，∴PA=ABtan60°=．
取AB=1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，），D（0，2，0）．
（1）∵=（1，1，0），=（0，0，），=（-1，1，0），
∴•=-1+1+0=0，•=0．
∴AC⊥CD，AP⊥CD，
∵AC∩AP=A，
∴CD⊥平面PAC．
又CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAC．
（2）∵=，，
∴=（0，0，）+=，
∴E（0，，），∴=（0，，）．
又=（1，0，-），∴•=-2．
∴cos＜•＞===-．
∴異面直線AE與PB所成的角為arccos．
分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)的點(diǎn)及向量的坐標(biāo)．（1）利用?，來證明線線垂直，從而證明線面、面面垂直；（2）先求出兩條異面直線的方向向量，進(jìn)而利用向量的夾角即可求出異面直線所成的夾角．
點(diǎn)評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量和直線的方向向量等知識證明線線、線面、面面垂直和求出異面直線所成的夾角的方法是解題的關(guān)鍵．