Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求異面直線AC與BC₁所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）設(shè)BC₁與CB₁交于點(diǎn)O，連接OD，利用三角形中位線性質(zhì)，證明OD∥AC₁，利用線面平行的判定，可得AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）因?yàn)锳C∥A₁C₁，得到異面直線AC與BC₁所成角為∠BC₁A₁，通過勾股定理的逆定理可求為90°．

解答： （I）證明：設(shè)BC₁與CB₁交于點(diǎn)O，則O為BC₁的中點(diǎn)．

在△ABC₁中，連接OD，∵D，O分別為AB，BC₁的中點(diǎn)，
∴OD為△ABC₁的中位線，
∴OD∥AC₁，
又AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）解：∵AC∥A₁C₁，
∴異面直線AC與BC₁所成的角為∠BC₁A₁，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，
∴A₁B²=AA₁²+AB²=41，BC₁²=CC₁²+BC²=32，A₁C₁²=9，
∴A₁B²=BC₁²+A₁C₁²，
∴∠A₁C₁B=90°，
∴異面直線AC與BC₁所成角的大小為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直三棱柱中的線面關(guān)系以及線線關(guān)系，熟練直棱柱的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．