Question

12．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0，tan∠P{F_1}{F_2}=\sqrt{3}$，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $1+\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． $3+\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=60°，|F₁F₂|=2c，求得|PF₁|和|PF₂|，進(jìn)而利用雙曲線定義建立等式，求得a和c的關(guān)系，則離心率可得．

解答 解：依$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0，tan∠P{F_1}{F_2}=\sqrt{3}$，
可知∠F₁PF₂=90°，|F₁F₂|=2c，∠PF₁F₂=60°，
∴|PF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|=$\sqrt{3}$c，|PF₁|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c，
由雙曲線定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a=（$\sqrt{3}$-1）c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)特別是雙曲線定義的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．