Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x=-2交x軸于點(diǎn)A，設(shè)P是l上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）已知T（1，-1），設(shè)H是E上動點(diǎn)，求|HO|+|HT|的最小值，并給出此時點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)T（1，-1）且不平行與y軸的直線l₁與軌跡E有且只有兩個不同的交點(diǎn)，求直線l₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于直線l：x=-2交x軸于點(diǎn)A，所以A（-2，0），由于P是l上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP，可以設(shè)點(diǎn)P，由于滿足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相關(guān)點(diǎn)法可以求出動點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）由題意及點(diǎn)M的軌跡E的方程為y²=4（x+1），且已知T（1，-1），又H是E 上動點(diǎn)，點(diǎn)O及點(diǎn)T都為定點(diǎn)，利用圖形即可求出；
（3）由題意設(shè)出過定點(diǎn)的直線方程l₁并與點(diǎn)M的軌跡E的方程聯(lián)立，利用有兩個交點(diǎn)等價與聯(lián)立之后的一元二次方程的判別式大于0，即可得到所求．

解答：解：（1）如圖所示，連接OM，則|PM|=|OM|∵∠MPO=∠AOP，∴動點(diǎn)M滿足MP⊥l或M在x的負(fù)半軸上，設(shè)M（x，y） ①當(dāng)MP⊥l時，|MP|=|x+2|，|om|=

x2+y2

，|x+2|=

x2+y2

，化簡得y²=4x+4  （x≥-1）②當(dāng)M在x的負(fù)半軸上時，y=0（x＜-1）綜上所述，點(diǎn)M的軌跡E的方程為y²=4x+4  （x≥-1）或y=0（x＜-1）
（2）由題意畫出圖形如下：
∵由（1）知道動點(diǎn)M 的軌跡方程為：y²=4（x+1）．
是以（-1，0）為頂點(diǎn)，以O(shè)（0，0）為焦點(diǎn)，以x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，
由H引直線HB垂直準(zhǔn)線x=-2與B點(diǎn)，則
利用拋物線的定義可以得到：|HB|=|HO|，
∴要求|HO|+|HT|的最小值等價于求折線|HB|+|HT|的最小值，
由圖可知當(dāng)由點(diǎn)T直接向準(zhǔn)線引垂線是與拋物線相交的H使得HB|+|HT|的最小值，
故|HO|+|HT|的最小值時的H(-

3

4

，-1)．
 （3）如圖，設(shè)拋物線頂點(diǎn)A（-1，0），則直線AT的斜率KAT=-

1

2

∵點(diǎn)T（1，-1）在拋物線內(nèi)部，∴過點(diǎn)T且不平行于x，y軸的直線l₁必與拋物線有兩個交點(diǎn)則直線l₁與軌跡E的交點(diǎn)個數(shù)分以下四種情況討論：①當(dāng)K≤-

1

2

時，直線l₁與軌跡E有且只有兩個不同的交點(diǎn) ②當(dāng)-

1

2

＜K＜0時，直線l₁與軌跡E有且只有三個不同的交點(diǎn) ③當(dāng)K=0時，直線l₁與軌跡E有且只有一個交點(diǎn) ④當(dāng)K＞0時，直線l₁與軌跡E有且只有兩個不同的交點(diǎn)綜上所述，直線l₁的斜率K的取值范圍是
（-∞，-

1

2

]∪（0，+∞）  

點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查了利用相關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)的軌跡方程，還考查了利用拋物線的定義求出HO|+|HT|的最小值時等價轉(zhuǎn)化的思想，還考查了直線與曲線有兩個交點(diǎn)的等價轉(zhuǎn)化思想．