Question

△ABC中，角A、B、C對邊分別是a、b、c，滿足6

AB

•

AC

=（b+c）²-a²．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=cos²（x+

A

2

）-sin²（x-

A

2

）+

3

2

sin2x，x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由條件求得6bc•cosA=a²+b²+c²+2bc，再由余弦定理可得b²=b²+c²-2bc•cosA，求得cosA的值，可得A的值．
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=sin（2x+

π

6

），再根據(jù)x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵6

AB

•

AC

=（b+c）²-a²，∴6bc•cosA=a²+b²+c²+2bc，
再由余弦定理可得b²=b²+c²-2bc•cosA，∴cosA=

1

2

，∴A=

π

3

．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=cos²（x+

A

2

）-sin²（x-

A

2

）+

3

2

sin2x
=cos²（x+

π

6

）-sin²（x-

π

6

）+

3

2

sin2x=

1+cos(2x+ π 3 )

2

-

1-cos(2x- π 3 )

2

+

3

2

sin2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin（2x+

π

6

），
又x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
故函數(shù)的最小值為

1

2

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義、余弦定理、三角函數(shù)的恒等變換、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．