在△ABC中,cos(A-C)+2cos2
B
2
=
5
2
,三邊a,b,c成等比數(shù)列,求B.
分析:把已知等式左邊的第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),移項(xiàng)合并后,由B=π-(A+C)再利用誘導(dǎo)公式變形,和差化積后得到sinAsinC的值,然后根據(jù)三邊a,b,c成等比數(shù)列,由等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式,利用正弦定理化簡(jiǎn)后,把求出的sinAsinC的值代入,開(kāi)方可得出sinB的值,根據(jù)B為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù).
解答:解:由已知得:cos(A-C)+cosB=
3
2
,
cos(A-C)+cos(A+C)=
3
2

∴sinAsinC=
3
4
,
又∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac,
又由正弦定理得sin2B=sinA•sinC,
∴sin2B=
3
4
,sinB=
3
2
,(-
3
2
舍去)

∴B=60°或120°,
但若B=120°,則有b>a,b>c,b2>ac,
這與已知b2=ac矛盾,故B≠120°,
∴B=60°
點(diǎn)評(píng):此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式,誘導(dǎo)公式,等差數(shù)列的性質(zhì),以及正弦定理,利用了整體代入的思想.學(xué)生在求值時(shí)注意根據(jù)角度的范圍做到合理的取舍,例如求sinB值時(shí),舍去負(fù)值是因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角,不可能取負(fù)值;求出B度數(shù)后,利用了反證法說(shuō)明了B≠120°,進(jìn)而得出了滿足題意的B的度數(shù).
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6、在△ABC中,cos(A-B)+sin(A+B)=2,則△ABC的形狀為
等腰直角
三角形.

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在△ABC中,cos(A+C)=-
3
5
,且a,c的等比中項(xiàng)為
35

(1)求△ABC的面積;
(2)若a=7,求角C.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,cos∠ABC=
1
3
,AB=6,AD=2DC,點(diǎn)D在AC邊上.
(Ⅰ)若BC=AC,求sin∠ADB;
(Ⅱ)若BD=4
3
,求BC的長(zhǎng).

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