(2001•上海)在棱長為a的正方體OABC-O′A′B′C′中,E、F分別是棱AB、BC上的動點,且AE=BF.
(Ⅰ)求證:A′F⊥C′E;
(Ⅱ)當三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時,求二面角B′-EF-B的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示)
分析:(I)以O(shè)為原點建立空間直角坐標系,AE=BF=x,驗證
A′F
C′E
=0
,即可證明A′F⊥C′E;
(Ⅱ)利用基本不等式,確定三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時,BE=BF=
a
2
,過B作BD⊥EF交EF于D,連B′D,可知B′D⊥EF,從而∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角,即可求出二面角B′-EF-B的大。
解答:(I)證明:如圖,以O(shè)為原點建立空間直角坐標系.
設(shè)AE=BF=x,則A′(a,0,a)、F(a-x,a,0)、C′(0,a,a)、E(a,x,0)
A′F
={-x,a,-a},
C′E
={a,x-a,-a}
.…(4分)
A′F
C′E
=-xa+a(x-a)+a2=0
,
∴A′F⊥C′E.
(II)解:記BF=x,BE=y,則x+y=a,
三棱錐B′-BEF的體積V=
1
6
xya≤
a
6
(
x+y
2
)2=
1
24
a3
,
當且僅當x=y=
a
2
時,等號成立.
因此,三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時,BE=BF=
a
2
.…(10分)
過B作BD⊥EF交EF于D,連B′D,可知B′D⊥EF.
∴∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角.
在直角三角形BEF中,直角邊BE=BF=
a
2
,BD
是斜邊上的高,
BD=
2
4
a
,tan∠B′DB=
B′B
BD
=2
2
,
故二面角B′-EF-B的大小為arctan2
2
.…(14分)
點評:本題考查線線垂直,考查面面角,考查向量知識的運用,考查三棱錐的體積,考查基本不等式的運用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2001•上海)據(jù)報道,我國目前已成為世界上受荒漠化危害最嚴重的國家之一,如表示我國土地沙化總面積在上個世紀五六十年代、七八十年代、九十年代的變化情況,由圖中的相關(guān)信息,可將上述有關(guān)年代中,我國年平均土地沙化面積在圖中圖示為:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2001•上海)用計算器驗算函數(shù)y=
lgx
x
(x>1)
的若干個值,可以猜想下列命題中的真命題只能是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2001•上海)對任意一人非零復(fù)數(shù)z,定義集合Mz={w|w=zn,n∈N}
(1)設(shè)z是方程x+
1x
=0
的一個根.試用列舉法表示集合Mz,若在Mz中任取兩個數(shù),求其和為零的概率P;
(2)若集合Mz中只有3個元素,試寫出滿足條件的一個z值,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2001•上海)在(4x2-2x-5)(1+
1x2
)5
的展開式中,常數(shù)項為
15
15

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案