Question

若關于x的不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集為空集，則實數a的取值范圍為

[

3 +1

4

，+∞)

．

Answer 1

分析：先二次項系數和0的大小關系分情況討論；再在每一種情況下找到滿足要求的實數a的取值范圍；最后綜合即可．（注意不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集為空集等價于所有的函數值都大于等于0，即最小值大于等于0）．

解答：解：當a=0時，-|x+1|＜0的解集不是空集；  這種情況舍去．
又因為開口向下的二次函數圖象是向下無限延伸的，
所以ax²-|x+1|+2a＜0的解集不可能為空集．這種情況舍去．
當a＞0，
當x≤-1時，不等式ax²-|x+1|+2a＜0為ax²+x+2a+1＜0
對稱軸為x=

1

2a

＞0，
∵關于x的不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集為空集，
∴f（x）_min=f（-1）≥0⇒a≥0，
∴a≥0
當x＞-1時，不等式ax²-|x+1|+2a＜0為ax²-x+2a-1＜0，
對稱軸為x=

1

2a

＞0，
∵關于x的不等式ax²-|x+1|+2a＜0的解集為空集
∴f（x）_min=f（

1

2a

）≥0⇒8a²-4a-1≥0⇒a≥

3 +1

4

，a≤

1- 3

4

．
∴a≥

1+ 3

4

綜上得：a≥

1+ 3

4

故答案為：[

1+ 3

4

，+∞）．

點評：本題考查一元二次不等式的解法，解題的關鍵是對參數的范圍進行分類討論，分類解不等式，此題是一元二次不等式解法中的難題，易因為分類不清與分類有遺漏導致解題失敗，解答此類題時要嚴謹，避免考慮不完善出錯．