Question

18．已知點(diǎn)P是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{a^2}$+y²=1上一動(dòng)點(diǎn)．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l過(guò)點(diǎn)M（2，$\frac{π}{4}$），且與極軸所成的角為$\frac{3π}{4}$．
（1）寫出直線 l的極坐標(biāo)方程和橢圓C的參數(shù)方程．
（2）求出點(diǎn)P到直線l的距離的最小值，并求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）在直角坐標(biāo)系中，求出直線的方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式求得直線極坐標(biāo)方程．直接寫出橢圓C的參數(shù)方程．
（2）設(shè)與x+y-2$\sqrt{2}$=0平行的直線方程為x+y+m=0，即y=-x-m與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn) M（2，$\frac{π}{4}$），且與極軸所成的角為$\frac{3π}{4}$的直線的斜率為-1，
其直角坐標(biāo)方程是y-$\sqrt{2}$=-（x-$\sqrt{2}$），即x+y-2$\sqrt{2}$=0，
其極坐標(biāo)方程為 ρcosθ+ρsinθ-2$\sqrt{2}$=0，
即ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2．
橢圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）；
（2）設(shè)與x+y-2$\sqrt{2}$=0平行的直線方程為x+y+m=0，即y=-x-m，
代入$\frac{{x}^{2}}{a^2}$+y²=1整理可得（1+a²）x²+2a²mx+m²a²-a²=0，
△=4a⁴m²-4（1+a²）（m²a²-a²）=0，∴m=±$\sqrt{1+{a}^{2}}$，x=-$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$，y=$\sqrt{1+{a}^{2}}$+$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$
∴點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為$\frac{|\sqrt{1+{a}^{2}}-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$，對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)（-$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$，$\sqrt{1+{a}^{2}}$+$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，求出直角坐標(biāo)系中直線的方程是解題的關(guān)鍵．