已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，若存在正實(shí)數(shù)m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x）恒成立，則稱h（x）為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)．若f(x)=sin
x
2
，g(x)=cosx．
（1）判斷函數(shù)y=sinkx，（k∈R）是否為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）記G（x）為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，若G(
π
3
)=1，且G（x）的最大值為
9
8
，求G（x）的解析式．
（1）若函數(shù)y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，
則存在正實(shí)數(shù)m，n使得sinkx=msin
x
2
+ncosx恒成立，
取x=0得：0=n，不符合n＞0這個(gè)條件，
故函數(shù)y=sinkx，（k∈R）不是為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，
（2）∵G（x）為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，若G(
π
3
)=1，
則存在正實(shí)數(shù)m，n使得G（x）=msin
x
2
+ncosx恒成立，
且msin
π
6
+ncos
π
3
=1，即：m+n=2，
故G（x）=(2-n)sin
x
2
+ncosx=(2-n)sin
x
2
+n(1-2sin  2
x
2
)
=(2-n)sin
x
2
-2nsin 2
x
2
+n
令sin
x
2
=t，則G（x）=-2nt2+（2-n）t+n，
根據(jù)其G（x）的最大值為
9
8
，
得到：n=1 或
4
9

代入m+n=2，得
m=1，n=1，或m=
14
9
，n=
4
9

故G（x）的解析式為：G（x）=sin
x
2
+cosx或G（x）=
14
9
sin
x
2
+
4
9
cosx．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f（x）=axg（x），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，在有窮數(shù)列{
f(n)
g(n)
}，(n=1，2，…，10)中任取前k項(xiàng)相加，則前k項(xiàng)和大于
15
16
的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），f（x）=ax•g（x），（a＞0且a≠1）
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，令an=
f(n)
g(n)
，則使數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn超過(guò)
15
16
的最小自然數(shù)n的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1，
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，對(duì)于有窮數(shù)列
f(n)
g(n)
=(n=1，2，…0)，任取正整數(shù)k（1≤k≤10），則前k項(xiàng)和大于
15 
16
的概率是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，且f（x）=g（x）ax（a＞0且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，則a的值為
1
2
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=2log2（1-x）
（1）求f（x）及g（x）的解析式，并指出其單調(diào)性（無(wú)需證明）．
（2）求使f（x）＜0的x取值范圍．
（3）設(shè)h-1（x）是h（x）=log2x的反函數(shù)，若存在唯一的x使
1-h-1(x)1+h-1(x)
=m-2x成立，求m的取值范圍．

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