【題目】已知函數(shù),.
(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù)的極值大于?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)存在,實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間,為此必須對(duì)分類討論,先分類,,時(shí),按和分類,在時(shí)按和分類,時(shí),兩根是負(fù)數(shù),不在定義域內(nèi),而時(shí),的兩根一正一負(fù),易得結(jié)論;
(2)由(1)只有時(shí),在一個(gè)極大值點(diǎn),因此題意要求,,其中.滿足即,即,這樣有.于是令,討論的單調(diào)性得,所以等價(jià)于,解不等式可得結(jié)論。
(1)由題可得,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
.
①當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)時(shí),令,即,即,.
當(dāng),即時(shí),,
故,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
當(dāng),即時(shí),方程的兩個(gè)實(shí)根分別為,.
若,則,,
此時(shí),所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;
若,則,,
此時(shí)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)可得,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,故函數(shù)無極值;
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
此時(shí)函數(shù)有極大值,極大值為,其中.
又,所以,即,所以.
令,則,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
又,所以當(dāng)時(shí),,所以等價(jià)于,
即當(dāng)時(shí),,即,
顯然當(dāng)時(shí),,所以,即,解得,
故存在滿足條件的實(shí)數(shù),使函數(shù)的極值大于,此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一,使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等.若相鄰兩個(gè)小方格的顏色不同,稱他們的公共邊為“分割邊”,則分割邊條數(shù)的最小值為( )
A.33B.56C.64D.78
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓經(jīng)過(2,5),(﹣2,1)兩點(diǎn),并且圓心在直線yx上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求圓上的點(diǎn)到直線3x﹣4y+23=0的最小距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某次考試中500名學(xué)生的物理(滿分為150分)成績(jī)服從正態(tài)分布,數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)如果成績(jī)大于135分為特別優(yōu)秀,那么本次考試中的物理、數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的大約各有多少人?
(Ⅱ)如果物理和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有4人,是否有99.9%的把握認(rèn)為物理特別優(yōu)秀的學(xué)生,數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀?
附:①若,則
②表及公式:
0.50 | 0.40 | … | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | … | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,正確的有( )
A.向量與是共線向量,則點(diǎn)、、、必在同一條直線上
B.若且,則角為第二或第四象限角
C.函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期是
D.中,若,則為鈍角三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)對(duì)任意的實(shí)數(shù),恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,當(dāng)實(shí)數(shù)取最小值時(shí),討論函數(shù)在時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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【題目】已知函數(shù).
(1)若是的導(dǎo)函數(shù),討論的單調(diào)性;
(2)若(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求證:.
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【題目】有一段“三段論”,其推理是這樣的:對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),若,則是函數(shù)的極值點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù)滿足,所以是函數(shù)的極值點(diǎn)”,結(jié)論以上推理
A. 大前提錯(cuò)誤B. 小前提錯(cuò)誤C. 推理形式錯(cuò)誤D. 沒有錯(cuò)誤
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