精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線y2=4x的焦點為F．過點P（2，0）的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M、N．
（Ⅰ）求y1y2的值；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的斜率為k，求證：直線MN的斜率為2k．
分析：（Ⅰ）設(shè)過P的直線方程為x=my+2，代入y2=4x，可得y2-4my-8=0，利用韋達定理，可得結(jié)論；
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4），設(shè)AM直線為x=ty+1，聯(lián)立y2=4x得y2-4ty-4=0，求出M，N的坐標，再利用斜率公式，即可得證．
解答：（Ⅰ）解：設(shè)過P的直線方程為x=my+2，代入y2=4x，消去x得y2-4my-8=0，
∴y1y2=-8
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4）
設(shè)AM直線為x=ty+1，聯(lián)立y2=4x，消去x得y2-4ty-4=0，∴y1y3=-4，得y3=
-4
y1

同理得y4=
-4
y2
，
又∵x1x3=
y12y32
16
=1，∴x3=
1
x1
，
同理得x4=
1
x2
，
∴kMN=
y4-y3
x4-x3
=
-4
y2
-
-4
y1
1
x2
-
1
x1
=
4(y2-y1)
y1y2
x1-x2
x1x2
=
x1x2
y1y2
•
4(y2-y1)
-(x2-x1)
=
y12y22
16
y1y2
•(-4)k=
y1y2
16
•(-4)k=2k
點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點恰好是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的右焦點F，且兩條曲線的交點的連線過F，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、
2
-1
B、2(
2
-1)
C、
5
-1
2
D、
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線y2=2px（p＞0），焦點為F，準線為直線l，P為拋物線上的一點，過點P作l的垂線，垂足為點Q．當P的橫坐標為3時，△PQF為等邊三角形．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點F的直線交拋物線于A，B兩點，交直線l于點M，交y軸于G．
①若
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，求證：λ1+λ2為常數(shù)；
②求
GA
•
GB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過拋物線焦點垂直于對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．如圖，已知拋物線y2=2px（p＞0），過其焦點F的直線交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，過A、B作準線的垂線，垂足分別為A1、B1．
（1）求出拋物線的通徑，證明x1x2和y1y2都是定值，并求出這個定值；
（2）證明：A1F⊥B1F．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•西城區(qū)一模）如圖，已知拋物線y2=x及兩點A1（0，y1）和A2（0，y2），其中y1＞y2＞0．過A1，A2分別作y軸的垂線，交拋物線于B1，B2兩點，直線B1B2與y軸交于點A3（0，y3），此時就稱A1，A2確定了A3．依此類推，可由A2，A3確定A4，…．記An（0，yn），n=1，2，3，…．
給出下列三個結(jié)論：
①數(shù)列{yn}是遞減數(shù)列；
②對?n∈N*，yn＞0；
③若y1=4，y2=3，則y5=
23
．
其中，所有正確結(jié)論的序號是
①②③
①②③
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知拋物線y2=2px（p＞0），過它的焦點F的直線l與其相交于A，B兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）若拋物線過點（1，2），求它的方程；
（Ⅱ）在（1）的條件下，若直線l的斜率為l，求AB弦長．

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