Question

(本小題滿分12分)

已知點(diǎn),是平面上一動(dòng)點(diǎn),且滿足,

(1)求點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程;

(2)已知點(diǎn)在曲線上,過點(diǎn)作曲線的兩條弦,且的斜率為滿足,試判斷動(dòng)直線是否過定點(diǎn),并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

 (1) 即為對(duì)應(yīng)的方程；(2)直線恒過定點(diǎn).

【解析】第一問是平面向量與解析幾何得結(jié)合，體現(xiàn)了向量運(yùn)算的工具作用。熟練向量的運(yùn)算對(duì)于解決這類問題很有幫助。第二問考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題的思路一般是將直線方程代入曲線方程消去一個(gè)未知數(shù)，然后利用韋達(dá)定理處理。

解：(1)由 可知 …………………………1分

設(shè),則,…………2分

代入得:

化簡(jiǎn)得:即為對(duì)應(yīng)的方程,        …………………………5分

(2)將代入得∴ …………………………6分

設(shè)直線的方程為:

代入消得: …………………………7分

記

則 …………………………8分

∵∴且

∴

∴

∴ …………………………10分

當(dāng)時(shí)代入得: 過定點(diǎn)

當(dāng)時(shí)代入得:過,不合題意,舍去.

綜上可知直線恒過定點(diǎn).…………………………12分