Question

設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=2，S₄=10，數(shù)列{b_n}滿足a_n=log₂b_n，其中n∈N*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，結合題意列出方程求出首項、公差，代入通項公式；
（II）由（I）和條件求出b_n，再代入a_nb_n及T_n，利用錯位相減法求出T_n．

解答：解：（I）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₂=2，得a₁+d=2，①
由S₄=10，得4a1+

4×3

2

×d=10，②
由①和②解方程，得a₁=1，d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n．
（II）由（I）得，a_n=n=log₂b_n，
∴bn=2n，a_nb_n=n•2ⁿ，
∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=2+2×22+3×23+…+n×2n，①
則2Tn=22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1，②
由①-②得，-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1，
∴Tn=(n-1)×2n+1+2，
∴數(shù)列{a_nb_n}的前n項和Tn=(n-1)×2n+1+2．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，以及對數(shù)的運算，錯位相減法求數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題．