Question

四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,△PCD為正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,PB⊥AC,E為PD中點(diǎn).

(1)求證:PB∥平面AEC;

(2)求二面角E-A-C-D的大小.

Answer 1

解:(1)證明:連BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)OE,

∵E為PD中點(diǎn),O為BD中點(diǎn),

∴OE∥PB.

∵OE平面AEC,PB平面AEC,

∴PB∥平面AEC.

(2)設(shè)CD=a,AD=b,

過(guò)P作PH⊥CD,垂足為H,連結(jié)BH,

∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PH⊥平面ABCD.

∵PB⊥AC,∴BH⊥AC.

取HD中點(diǎn)G,連結(jié)EG、OG,則EGPH,OGBH,

∴OG⊥AC.

∵PB∥EO,PB⊥AC,∴EO⊥AC.

∴∠EOG為二面角EACD的平面角.

∵BH⊥AC,∴∠BHC=∠ACB.

∴.∴,a=b.

EG=PH=b,EO=b,

∴sin∠EOG=∴∠EOG=.

∴二面角E-AC-D的大小為.