Question

已知函數(shù)f（x）=，若存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   a＜2
2. B.
   a＜4
3. C.
   2≤a＜4
4. D.
   a＞2

Answer 1

B
分析：已知函數(shù)f（x）的解析式，存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸和二次函數(shù)的圖象進(jìn)行求解；
解答：當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=-x²+ax，開口向下，對(duì)稱軸為x=-=，
x＞1時(shí)，一次函數(shù)y=2ax-5恒過點(diǎn)（0，-5），是一條直線，與x軸的交點(diǎn)（，0），
根據(jù)存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，
當(dāng)-＜1時(shí)，即a＜2，對(duì)稱軸小于1，開口向下，此時(shí)直線y=2ax-5，與x軸的交點(diǎn)（，0），
此時(shí)＞，如下圖：

肯定存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，
滿足條件；即a＜2；
當(dāng)a≥2時(shí)，對(duì)稱軸大于1，存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，
如下圖：
直線y=2ax-5在直線l處肯定不行，在m處可以，
此時(shí)需要：二次函數(shù)y=-x²+ax，在x=1處的函數(shù)值，大于等于一次函y=2ax-5數(shù)在x=1處的函數(shù)值，
可得在x=1處有1+a＞2a-5，即2≤a＜4，
綜上得a＜4；
故選B；
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面，用到了分類討論的思想，是一道基礎(chǔ)題；