Question

（本題滿分15分）已知函數(shù)定義域?yàn)?img width=44 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/136/161936.gif">(),設(shè).

(Ⅰ)試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

(Ⅱ)求證:；

(Ⅲ)求證:對于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個數(shù) (其中為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)) .

Answer 1

（1）（2）見解析（3）當(dāng)或時，一解；當(dāng)時，二解。

解析:

(Ⅰ) 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，欲使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，因當(dāng)時，，當(dāng)時，，故只要時，恒成立，可得。…分

(Ⅱ)當(dāng)時，得或，又時，，時，，時，，所以時，是函數(shù)在上的極小值，時，是函數(shù)在上的極大值，當(dāng)時，有，而，由知，時由單調(diào)性知。…分

(Ⅲ) 對于任意的，，而

⑴當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，只要證

，

即且①，由知①顯然成立，且有唯一解�！�…分

⑵當(dāng)時，只要證，只要證，顯然成立。

當(dāng)，即時，一解，當(dāng)即時，

二解

⑶當(dāng)時，只要證，

即證，顯然成立。

當(dāng)時，即時，二解，當(dāng)，即，一解。

綜合以上，當(dāng)或時，一解；當(dāng)時，二解�！�…分。