Question

(14分)已知函數(shù),（ x>0）．

（I）當(dāng)0<a<b，且f(a)=f(b)時(shí)，求證：ab>1；

（II）是否存在實(shí)數(shù)a，b（a<b），使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

（III）若存在實(shí)數(shù)a，b（a<b），使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?[a，b]時(shí)，值域?yàn)?[ma，mb]

(m≠0),求m的取值范圍．

Answer 1

解析：（I） ∵x>0，∴

∴f(x)在（0，1）上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

由0<a<b，且f(a)=f(b)，

可得 0<a1<b和．

即．

∴2ab=a+b>．……………………………………3分

故，即ab>1．……………………………………4分

 （II）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b．

     若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y=的定義域、值域都是

[a，b]，則a>0．

    

①   當(dāng)時(shí)，在（0，1）上為減函數(shù)．

故     即 

解得  a=b．

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．………………………………6分

②     當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)．

故     即 

此時(shí)a，b是方程的根，此方程無實(shí)根．

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．………………………………8分

③     當(dāng)，時(shí)，

由于，而，

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．

      綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．………………………………10分

（III）若存在實(shí)數(shù)a，b（a<b），使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域?yàn)閇ma，mb]．

      則a>0，m>0．

①       當(dāng)時(shí)，由于f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，故．此時(shí)刻得a,b異號(hào)，不符合題意，所以a，b不存在．

②       當(dāng)或時(shí)，由（II）知0在值域內(nèi)，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

        故只有．

∵在上是增函數(shù)，

     ∴        即 

a，  b是方程的兩個(gè)根．

即關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根．……………………12分

設(shè)這兩個(gè)根為，．

則+=，?=．

∴       即 

解得   ．

    故m的取值范圍是．…………………………………………14分