Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2，n∈N^*），又數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列．
（1）求實數(shù)λ的值及{a_n}的通項公式a_n
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n（最后結(jié)果請化成最簡式）

Answer 1

分析：（1）由{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列可得，n≥2，

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

為常數(shù)，從而可求λ，及通項
（2）利用錯位相減及分組求和的方法求和即可

解答：解：（1）n≥2，

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

因為為等差數(shù)列  所以1-

1+λ

2n

為常數(shù)，所以λ=-1----（4分）
n≥2，

an+1

2n

-

an-1+1

2n-1

=1且

a1+1

21

=1，得

an+1

2n

=n，
所以a_n=n×2ⁿ-1-------------------（7分）
（2）S_n=（1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-n
記 T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ2T_n
=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹
得T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2------------------（12分）
所以S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2-n-----------------（14分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的定義的應(yīng)用，及乘公比錯誤相減得求和方法在解題中的應(yīng)用，屬于基本方法的綜合應(yīng)用．