Question

設(shè)數(shù)列的前項和.數(shù)列滿足:.
(1)求的通項.并比較與的大小;
(2)求證:.

Answer 1

(1) .。
(2)首先我們證明當時,
事實上,記. ∵
由(1)時,. ∴. 而.
∴當時,即. 從而.

試題分析：(1)由  ①  當時,.
當時, ② 由①-②有. ∵
∴是2為首項,2為公比的等比數(shù)列. 從而.
設(shè)
∵. ∴時, . 當時,
又. ∴當時,即.
當時,顯見
(2)首先我們證明當時,
事實上,記. ∵
由(1)時,. ∴. 而.
∴當時,即. 從而.
當時,不等式的
左



容易驗證當時,不等式也顯然成立.
從而對,所證不等式均成立.
點評：典型題，確定數(shù)列的通項公式，一般地，通過布列方程組，求相關(guān)元素。涉及數(shù)列不等式的證明問題，“放縮、求和、證明”和“數(shù)學(xué)歸納法”等證明方法，能拓寬學(xué)生的視野。