Question

第11屆哈爾濱冰雪大世界以“冰雪建筑華章，歡樂(lè)相約世界”為主題，于2009年12月24日正式開園．在建園期間，甲、乙、丙三個(gè)工作隊(duì)負(fù)責(zé)從冰凍的松花江中采出尺寸相同的冰塊．在冰景制作過(guò)程中，需要對(duì)冰塊進(jìn)行雕刻，有時(shí)冰塊會(huì)碎裂，假設(shè)冰塊碎裂后整塊冰塊就不能使用，定義：冰塊利用率=，假設(shè)甲、乙丙工作隊(duì)所采冰塊分別占采冰總量的25%、35%、40%，各隊(duì)采出的冰塊利用率分別為0.8，0.6，0.75．
（1）在采出的冰塊中有放回地抽取三塊，其中由甲工作隊(duì)采出的冰塊數(shù)記為ξ，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
（2）在采出的冰塊中任取一塊，求它被利用的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）任取一塊冰是由甲工作采出的冰塊的概率為，采出的冰塊中有放回地抽取，故可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其分布份額和二項(xiàng)分布．
（2）“采出的冰塊中任取一塊，它被利用”可分成三個(gè)互斥事件的并事件：甲隊(duì)所采并被利用、乙隊(duì)所采并被利用、丙隊(duì)所采并被利用，分別利用條件概率公式求概率，再取和即可．
解答：解：（1）任取一塊冰是由甲工作采出的冰塊的概率為
依題意ξ=0，1，2，3，且（1分）

，
，
∴ξ的分布列為
（5分）
∴（6分）
（2）用A₁表示事件“冰塊是由甲工作隊(duì)采出的”；
A₂表示事件“冰塊是由乙工作隊(duì)采出的”；
A₃表示事件“冰塊是由丙工作隊(duì)采出的”，
用B表示事件“采出的冰塊能被利用”，（8分）
則P（A₁）=0.25，P（A₂）=0.35，P（A₃）=0.40，
P（B|A₁）=0.8，P（B|A₂）=0.6，P（B|A₃）=0.75，（10分）
P（B）=P（BA₁）+P（BA₂）+P（BA₃）
=P（A₁）P（B|A₁）+P（A₂）P（B|A₂）+P（A₃）P（B|A₃）
=0.25×0.8+0.35×0.6+0.4×0.75
=0.71
答：采出的冰塊能被利用的概率是0.71．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)分布的分布列、期望、及條件概率、互斥事件的概率等知識(shí)，同時(shí)考查抽象概括能力和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．