Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（

3

sinB-cosB）（

3

sinC-cosC）=4cosBcosC．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若sinB=psinC，且△ABC是銳角三角形，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ） 由已知及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用得-

3

sin(B+C)=3cos(B+C)，從而可求tan（B+C）=-

3

，即可解得A的值．
（Ⅱ） 由已知得p=

sinB

sinC

=

sin(120°-C)

sinC

=

3

2tanC

+

1

2

，由△ABC為銳角三角形，且A=

π

3

，可求tanC的范圍，即可解得實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ） 由題意得3sinBsinC+cosBcosC-

3

sinBcosC-

3

cosBsinC=4cosBcosC
⇒-

3

sin(B+C)=3cos(B+C)
⇒tan(B+C)=-

3

⇒B+C=

2π

3

∴A=

π

3

（Ⅱ） p=

sinB

sinC

=

sin(120°-C)

sinC

=

3

2tanC

+

1

2

∵△ABC為銳角三角形，且A=

π

3

∴

π

6

＜C＜

π

2

⇒tanC＞

3

3

∴

1

2

＜p＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．