如圖,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,
2
),且離心率為
3
2

( I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
( II)過(guò)點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓相交于不同兩點(diǎn)P、Q,點(diǎn)N在線段PQ上.設(shè)
|
MP
|
|
PN
|
=
|
MQ
|
|
NQ
|
=λ,試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為程
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),由題設(shè)條件求出b2和a2,由此可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
( II)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),分兩種情況討論:①若直線l與y軸重合,此時(shí)λ易解得;②若直線l與y軸不重合,設(shè)直線l的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立消去y得一元二次方程,由韋達(dá)定理及
|
MP
|
|
PN
|
=
|
MQ
|
|
NQ
|
=λ可得x0=-
1
k
,進(jìn)而可求出y0值,結(jié)合圖象可得1<y1
2
,再由λ與y1的關(guān)系即可求得λ的取值范圍;
解答:解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),
因?yàn)樗囊粋(gè)頂點(diǎn)為A(0,
2
),所以b2=2,由離心率等于
3
2
,
a2-b2
a2
=
3
2
,解得a2=8,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
8
+
y2
2
=1

( II)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),
①若直線l與y軸重合,則
|
MP
|
|
PN
|
=
|
MQ
|
|
NQ
|
=λ⇒
2-
2
2
-y0
=
2+
2
2
+y0
=λ,解得y0=1,得λ=
2
;
②若直線l與y軸不重合,設(shè)直線l的方程為y=kx+2,
與橢圓方程聯(lián)立消去y,得(1+4k2)x2+16kx+8=0,
根據(jù)韋達(dá)定理得,x1+x2=-
16k
1+4k2
,x1x2=
8
1+4k2
,(*)
|
MP
|
|
PN
|
=
|
MQ
|
|
NQ
|
=λ,得
0-x1
x1-x0
=
0-x2
x0-x2
,
整理得2x1x2=x0(x1+x2),把上面的(*)式代入得x0=-
1
k
,
又點(diǎn)N在直線y=kx+2上,所以y0=k(-
1
k
)+2=1
,于是由圖象知1<y1
2

λ=
2-y1
y1-1
=
1
y1-1
-1,由1<y1
2
,得
1
y1-1
2
+1,所以λ>
2

綜上所述,λ≥
2
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查分類討論思想,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,綜合性強(qiáng),難度大.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4,左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M,|MA1|:|A1F1|=2:1.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線l1:x=m(|m|>1),P為l1上的動(dòng)點(diǎn),使∠F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用m表示).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)求m的取值范圍;
(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
3
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,1).直線l:y=x+m交橢圓于A,B兩不同的點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)|AB|=
12
5
2
時(shí),求m的值;
(3)若直線l不過(guò)點(diǎn)M,求證:直線MA,MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•馬鞍山二模)如圖,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),直線l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)(A、B與M不重合).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)MA⊥MB時(shí),求m的值.

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