Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=mx+2，設(shè)F（x）=f（x）-g（x）．求F（x）在[-1，2]上的最小值F（m）；
（3）求F（m）在m∈[-1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1可得c，由f（x+1）-f（x）=2x，可得a，b的方程組，解出a，b即可；
（2）表示出F（x），根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊、內(nèi)部、右邊三種情況進(jìn)行討論可得F（m）；
（3）由F（m）的表達(dá)式可知其單調(diào)性，由單調(diào)性可求最小值；

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（0）=1得c=1，
又f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+c-（ ax²+bx+c）=2x，即2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x²-x+1-（ mx+2）=x²-（m+1）x-1，
當(dāng)

m+1

2

≤-1，即m≤-3時(shí)，F(xiàn)（x）在[-1，2]上遞增，∴F（m）=F（-1）=m+1；
當(dāng)-1＜

m+1

2

＜2，即-3＜m＜3時(shí)，F(xiàn)（m）=F（

m+1

2

）=

-4-(m+1)2

4

；
當(dāng)

m+1

2

≥2，即m≥3時(shí)，F(xiàn)（x）在[-1，2]上遞減，∴F（m）=F（2）=1-2m；
∴F（m）

m+1(m≤-3) -4-(m+1)2 4 (-3＜m＜3) -2m+1(m≥3)

；
（3）當(dāng)m∈[-1，2]時(shí)，F(xiàn)（m）=

-4-(m+1)2

4

．
F（m）在[-1，2]上遞減，
∴F（m）_min=F（2）=-

13

4

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想．