分析 (Ⅰ)設(shè)AB=xm,利用△ADP≌△CB'P,故PA=PC=x-y,結(jié)合PA2=AD2+DP2,即可用x表示圖中DP的長(zhǎng)度,并寫出x的取值范圍;
(Ⅱ)利用基本不等式求面積S2最大時(shí),設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬;
(Ⅲ)求面積(S1+2S2),利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,即可得出最大時(shí),設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬.
解答 解:(Ⅰ)由題意,AB=x,BC=2-x,
因?yàn)閤>2-x,故1<x<2.…(2分)
設(shè)DP=y,則PC=x-y,
因?yàn)椤鰽DP≌△CB'P,故PA=PC=x-y,
由PA2=AD2+DP2,得(x-y)2=(2-x)2+y2,$y=2({1-\frac{1}{x}}),1<x<2$.…(4分)
(Ⅱ)記△ADP的面積為S2,則${S_2}=({1-\frac{1}{x}})({2-x})$…(5分)
=$3-({x+\frac{2}{x}})≤3-2\sqrt{2}$,
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\sqrt{2}∈({1,2})$時(shí),S2取得最大值.…(7分)
故當(dāng)材料長(zhǎng)為$\sqrt{2}m$,寬為$({2-\sqrt{2}})m$時(shí),S2最大.…(8分)
(Ⅲ)${S_1}+2{S_2}=\frac{1}{2}x({2-x})+({1-\frac{1}{x}})({2-x})=3-\frac{1}{2}({{x^2}+\frac{4}{x}})$,1<x<2.
于是$({{S_1}+2{S_2}})'=-\frac{1}{2}({2x-\frac{4}{x^2}})=\frac{{-{x^3}+2}}{x^2}=0$,∴$x=\root{3}{2}$.…(11分)
關(guān)于x的函數(shù)(S1+2S2)在$({1,\root{3}{2}})$上遞增,在$({\root{3}{2},2})$上遞減,
所以當(dāng)$x=\root{3}{2}$時(shí),S1+2S2取得最大值.…(12分)
故當(dāng)材料長(zhǎng)為$\root{3}{2}$m,寬為$({2-\root{3}{2}})$m時(shí),S1+2S2最大.…(13分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,考查基本不等式,導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,確定函數(shù)的表達(dá)式是關(guān)鍵.
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A. | 16 | B. | 8 | C. | 4 | D. | 1 |
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A. | 6 | B. | 9 | C. | 15 | D. | 0 |
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A. | $\frac{m}{n}$ | B. | $\frac{n}{1-m}$ | C. | $\frac{1-n}{m}$ | D. | $\frac{1+n}{1+m}$ |
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