已知定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)滿足,且。

（Ⅰ）判斷函數(shù)的奇偶性并證明之；

（Ⅱ）解關(guān)于的不等式：；

（Ⅲ）設(shè)集合,.，若集合有且僅有一個元素，求證: 。

 

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)為R上的奇函數(shù),（Ⅱ）,（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）抽象函數(shù)奇偶性的證明，先令，再令可求得出函數(shù)為奇函數(shù), （Ⅱ）由（Ⅰ）知在上為奇函數(shù)，則利用單調(diào)性及與-1的關(guān)系可解得； （Ⅲ）先對進行化簡，再利用兩方程有唯一解求證.

試題解析：（Ⅰ）令,

令,,

函數(shù)為R上的奇函數(shù).                        （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

又函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),

故                    （8分）

（Ⅲ）

,又有且僅有一個元素,即方程組有唯一解,

即僅有一個實根, ,即 （13分）

考點：抽象函數(shù)求奇偶性,不等關(guān)系,交集定義,函數(shù)與方程.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

15、已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：存在實數(shù)x0，使得對于任意實數(shù)x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立，則（i）f（1）+f（0）=
0
（ii）x0的值為
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x），存在實數(shù)x0，使得對于任意實數(shù)x1，x2總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且對任意正整數(shù)n，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，求Sn和Tn；
（3）若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]對任意不小于2的正整數(shù)n都成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)y=f（x），當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并寫出適合條件的函數(shù)f（x）的一個解析式；
（2）數(shù)列{an}滿足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)，
①求通項公式an的表達式；
②令bn=(
1
2
)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，試比較Sn與
4
3
Tn的大小，并加以證明；
③當a＞1時，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(log a+1x-log ax+1)對于不小于2的正整數(shù)n恒成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•黃岡模擬）已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x），存在實數(shù)x0，使得對于任意實數(shù)x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且對于任意正整數(shù)n，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比較
4
3
Sn與Tn的大小關(guān)系，并給出證明；
（3）在（2）的條件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]對任意不小于2的正整數(shù)n都成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州三模）已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x），存在實數(shù)x0使得對任意實數(shù)x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且對任意的正整數(shù)n．有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比較
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3
Sn與Tn的大小關(guān)系，并給出證明．

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