Question

已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，記M=max{

1

ac

+b，

1

a

+bc，

a

b

+c}，則M的最小值為

2

．

Answer 1

分析：先根據(jù)c的范圍，討論第一個(gè)數(shù)和第二個(gè)數(shù)的大小關(guān)系．在每種情況中分別用均值不等式和不等式的性質(zhì)確定M的范圍，即可得解

解答：解：由題意知M≥

1

ac

+b＞0，M≥

1

a

+bc＞0，M≥

a

b

+c＞0
∵(

1

ac

+b)c=

1

a

+bc＞0
①當(dāng)c≥1時(shí)，

1

a

+bc≥

1

ac

+b＞0
∴只需考慮M≥

1

a

+bc，M≥

a

b

+c
∴M≥

1

a

+bc≥

1

a

+b≥2

b a

，M≥

a

b

+c≥

a

b

+1≥2

a b

∴M2≥2 

b a

×2

a b

=4
∴M≥2，當(dāng)a=b=c=1時(shí)取等號(hào)
②當(dāng)c＜1時(shí)，0＜

1

a

+bc＜

1

ac

+b，只需考慮M≥

1

ac

+b，M≥

a

b

+c
∴M2≥(

1

ac

+b)(

a

b

+c)=a+

1

a

+

1

bc

+bc≥2

a× 1 a

+2

1 bc ×bc

=4
∴M≥2
∴M的最小值為2
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式不比較大小，同時(shí)考查均值不等式和不等式的性質(zhì)，須特別注意同向不等式的應(yīng)用和均值不等式的條件．屬中檔題