Question

如圖所示，已知PA切圓O于A，割線PBC交圓O于B、C，PD⊥AB于D，PD與AO的延長線相交于點E，連接CE并延長交圓O于點F，連接AF．
（1）求證：B，C，E，D四點共圓；
（2）當AB=12，tan∠EAF=

2

3

時，求圓O的半徑．

Answer 1

分析：（1）由切割線定理PA²=PB•PC，由已知易得Rt△PAD∽Rt△PEA，可得PA²=PD•PE，于是PB•PC=PD•PE，可得△PBD∽△PEC，因此∠BDP=∠C
即可得出B，C，E，D四點共圓              
（2）作OG⊥AB于G，由（1）知∠PBD=∠PEC，利用四點共圓的性質(zhì)可得∠PBD=∠F，因此∠F=∠PEC，可得PE∥AF．進而得到PE∥OG∥AF，
于是∠AOG=∠EAF．在Rt△AOG中，tan∠AOG=tan∠EAF=

2

3

=

6

OG

，可得OG，再利用勾股定理可得OA=

OG2+AG2

．

解答：解：（1）由切割線定理PA²=PB•PC
由已知易得Rt△PAD∽Rt△PEA，∴PA²=PD•PE，
∴PA²=PB•PC=PA²=PD•PE，
又∠BPD為公共角，∴△PBD∽△PEC，
∴∠BDP=∠C
∴B，C，E，D四點共圓              
（2）作OG⊥AB于G，由（1）知∠PBD=∠PEC，
∵∠PBD=∠F，∴∠F=∠PEC，
∴PE∥AF．
∵AB=12，∴AG=6．
∵PD⊥AB，∴PD∥OG．
∴PE∥OG∥AF，
∴∠AOG=∠EAF．
在Rt△AOG中，tan∠AOG=tan∠EAF=

2

3

=

6

OG

，
∴OG=9∴R=AO=

AG2+OG2

=3

13

∴圓O的半徑3

13

．

點評：熟練掌握四點共圓的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切割線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理等是解題的關(guān)鍵．