Question

在半徑為15的球內有一個底面邊長為12

3

的內接正三棱錐，則此正三棱錐的體積為

864

3

或216

3

．

Answer 1

分析：因為在半徑為15的球內有一個底面邊長為12

3

的內接正三棱錐，故此三棱錐的高未定，根據(jù)球體的對稱性可判斷符合條件的正三棱錐有兩個，分別考慮球心在三棱錐的高上還是在高外，求得三棱錐的高即可利用三棱錐體積公式計算結果

解答：解：如圖設球的球心為O，內接正三棱錐為E-BCD，
則三角形BCD為正三角形，邊長BC=12

3

，外接圓半徑AC=

3

3

× 12

3

=12
球的半徑OC=OE=15
（1）若E、A分別在球心O的兩側（如圖1），則在Rt△OAC中，OA=

OC2-AC2

=

152-122

=9
∴正三棱錐為E-BCD的高EA=OE+OA=15+9=24
∴正三棱錐為E-BCD的體積VE-BCD=

1

3

×S△BCD ×EA
=

1

3

×

3

4

×(12

3

)2×24=

1

3

×108

3

×24=864

3

（2）若E、A分別在球心O的同側（如圖2），則
在Rt△OAC中，OA=

OC2-AC2

=

152-122

=9
∴正三棱錐為E-BCD的高EA=OE-OA=15-9=6
∴正三棱錐為E-BCD的體積VE-BCD=

1

3

×S△BCD ×EA=

1

3

×

3

4

×(12

3

)2×6=

1

3

×108

3

×6=216

3

故答案為 864

3

或216

3

點評：本題考查了球與三棱錐的接和切問題，球的性質，正三棱錐的性質及體積計算公式，空間想象能力，分類討論的思想方法