Question

如圖，兩個(gè)工廠A，B（視為兩個(gè)點(diǎn)）相距2km，現(xiàn)要在以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4km的橢圓上某一點(diǎn)P處建一幢辦公樓．據(jù)測(cè)算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP成反比，比例系數(shù)是1；辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP也成反比，比例系數(shù)是4．辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設(shè)AP=xkm．
（I）求“總噪音影響度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（II）當(dāng)AP為多少時(shí)，“總噪音影響度”最��？（結(jié)果保留一位小數(shù)）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)橢圓的定義可知PA+PB=4，從而得到PB，利用辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，即可列出函數(shù)關(guān)系式；
（II）對(duì)函數(shù)y的表達(dá)式進(jìn)行變形，構(gòu)造積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值即可，注意等號(hào)成立的條件．

解答：解：（I）∵辦公樓P在以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4km的橢圓上，則有PA+PB=4，故PB=4-x，
∵辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP成反比，比例系數(shù)是1，辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP也成反比，比例系數(shù)是4，
∴辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y=

1

x

+

4

4-x

，（1≤x≤3），
故“總噪音影響度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

x

+

4

4-x

，（1≤x≤3）；
（II）由（I）可知，y=

1

x

+

4

4-x

，（1≤x≤3），
∴y=

1

x

+

4

4-x

=（

1

x

+

4

4-x

）[x+（4-x）]×

1

4

=

1

4

（5+

4-x

x

+

4x

4-x

）
≥

1

4

（5+2

4-x x • 4x 4-x

）=

9

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)

4-x

x

=

4x

4-x

，即x=

4

3

≈1.3時(shí)取“=”，
∴當(dāng)x≈1.3時(shí)，y取最小值為

9

4

，
故當(dāng)AP為1.3km時(shí)，“總噪音影響度”最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．建立數(shù)學(xué)模型后應(yīng)用了基本不等式求最值．解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．屬于中檔題．