Question

平面直角坐標系xOy中，已知A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n）是直線l：y=kx+b上的n個點
（n∈N^*，k、b均為非零常數(shù)）．
（1）若數(shù)列{x_n}成等差數(shù)列，求證：數(shù)列{y_n}也成等差數(shù)列；
（2）若點P是直線l上一點，且

OP

=a1

OA1

+a2

OA2

，求a₁+a₂的值；
（3）若點P滿足

OP

=a1

OA1

+a2

OA2

+…+an

OAn

，我們稱

OP

是向量

OA1

，

OA2

，…，

OAn

的線性組合，{a_n}是該線性組合的系數(shù)數(shù)列．當

OP

是向量

OA1

，

OA2

，…，

OAn

的線性組合時，請參考以下線索：
①系數(shù)數(shù)列{a_n}需滿足怎樣的條件，點P會落在直線l上？
②若點P落在直線l上，系數(shù)數(shù)列{a_n}會滿足怎樣的結論？
③能否根據(jù)你給出的系數(shù)數(shù)列{a_n}滿足的條件，確定在直線l上的點P的個數(shù)或坐標？
試提出一個相關命題（或猜想）并開展研究，寫出你的研究過程．[本小題將根據(jù)你提出的命題（或猜想）的完備程度和研究過程中體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評分]．

Answer 1

分析：（1）若設等差數(shù)列{x_n}的公差為d，易得y_n+1-y_n為常數(shù)，即證數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列；
（2）由點P、A₁和A₂都是直線l上的點，知

A1P

=λ

PA2

（其中λ≠-1）；由向量的線性運算，得

OP

=

OA1

+

A1P

=

OA1

+λ

PA2

=

OA1

+λ(

OA2

-

OP

)；整理可得

OP

=

1

1+λ

OA1

+

λ

1+λ

OA2

；即得a₁+a₂的值；
（3）設存在點P（x，y）滿足

OP

=a₁

OA1

+a₂

OA2

+…+a_n

OAn

，則x=a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n，當i+j=n+1時，有a_i=a_j，所以x=a_nx₁+a_n-1x₂+…+a₂x_n-1+a₁x_n，則2x=a₁（x₁+x_n）+a₂（x₂+x_n-1）+…+a_n（x_n+x₁），由數(shù)列{x_n}是等差數(shù)列，則x₁+x_n=x₂+x_n-1=…=x_n+x₁，可得2x，從而得x，同理得y；即得點P在直線l上．

解答：解：（1）證明：設等差數(shù)列{x_n}的公差為d，因為y_n+1-y_n=（kx_n+1+b）-（kx_n+b）=k（x_n+1-x_n）=kd是常數(shù)，
∴數(shù)列{y_n}等差數(shù)列．
（2）因為點P、A₁和A₂都是直線l上一點，故有

A1P

=λ

PA2

（其中λ≠-1）；
于是，

OP

=

OA1

+

A1P

=

OA1

+λ

PA2

=

OA1

+λ(

OA2

-

OP

)；
∴(1+λ)

OP

=

OA1

+λ

OA2

，即

OP

=

1

1+λ

OA1

+

λ

1+λ

OA2

；
令a₁=

1

1+λ

，a₂=

λ

1+λ

，則有a₁+a₂=1．
（3）假設存在點P（x，y）滿足

OP

=a₁

OA1

+a₂

OA2

+…+a_n

OAn

，
則有x=a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n，且當i+j=n+1時，恒有a_i=a_j，
所以有x=a_nx₁+a_n-1x₂+…+a₂x_n-1+a₁x_n，
所以2x=a₁（x₁+x_n）+a₂（x₂+x_n-1）+…+a_n（x_n+x₁），
又因為數(shù)列{x_n}成等差數(shù)列，于是x₁+x_n=x₂+x_n-1=…=x_n+x₁，
所以，2x=（a₁+a₂+…+a_n）（x₁+x_n）=x₁+x_n；
故x=

x1+xn

2

，同理y=

y1+yn

2

，且點P(

x1+xn

2

，

y1+yn

2

)在直線l上（是A₁、A_n的中點），
即存在點P(

x1+xn

2

，

y1+yn

2

)滿足要求．

點評：本題考查了等差數(shù)列以及平面向量知識的綜合應用，屬于較難的題目；解題時須要認真審題，細心解答，以免出錯．