Question

3．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AC的中點．證明：（1）BD₁⊥AC；（2）BD₁⊥EB₁．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，可求$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），由$\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{AC}$=0，即可證明BD₁⊥AC．
（2）由（1）可求$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），由$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=0，即可證明BD₁⊥EB₁．

解答 證明：以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，
設(shè)正方體的棱長為1，則B（1，1，0），D₁（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），B₁（1，1，1），
（1）$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{AC}$=（-1）×（-1）+（-1）×1+1×0=0，
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$⊥$\overrightarrow{AC}$
∴BD₁⊥AC．
（2）$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（-1）×$\frac{1}{2}$+（-1）×$\frac{1}{2}$+1×1=0，
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$⊥$\overrightarrow{E{B}_{1}}$，
∴BD₁⊥EB₁．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了空間想象能力和推理論證能力，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量求解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．