Question

二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），滿足f（x+1）為偶函數(shù)，且方程f（x）=x有相等實根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[m，m+1]上的最大值．

Answer 1

解：（1）∵f（x+1）為偶函數(shù)，
∴f（-x+1）=f（x+1），即a（-x+1）²+b（-x+1）=a（x+1）²+b（x+1），整理，得2a+b=0①；
又∵f（x）=x有相等實根，即ax²+bx=x有相等實根，
∴b=1，從而解得a=-；
∴f（x）=-x²+x；
（2）∵f（x）=-x²+x的圖象是拋物線，且開口向下，對稱軸是x=1；
∴當m+1≤1，即m≤0時，f（x）在[m，m+1]上是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（m+1）=-m²+；當，即0＜m＜1時，在[m，m+1]上先增或減，
∴f（x）_max=f（1）=；當m≥1時，在[m，m+1]上是減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（m）=-m²+m；
綜上，知f（x）在[m，m+1]上的最大值是：當m≤0時，f（x）_max=-m²+；當0＜m＜1時，f（x）_max=；當m≥1時，f（x）_max=-m²+m．
分析：（1）由f（x+1）為偶函數(shù)，得f（-x+1）=f（x+1），且f（x）=x有相等實根，可得a、b的值；
（2）因f（x）的圖象是拋物線，討論對稱軸在[m，m+1]內(nèi)，還是在[m，m+1]左，右？根據(jù)單調(diào)性可求得f（x）在[m，m+1]上的最值．
點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性，一元二次方程有相等實根和二次函數(shù)在可變閉區(qū)間上的最值問題，是中檔題．