Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x-a|
（I） 若對x∈[0，4]不等式f（x）≤3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（II） 當a=2時，若f（x）+f（x+5）≥m對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I） 先求得不等式f（x）≤3的解集為M，根據(jù)題意，[0，4]⊆M，由此求得實數(shù)a的取值范圍．
（II） 利用絕對值三角不等式求得g（x）=f（x）+f（x+5）的最小值，可得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）≤3，得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，∴不等式f（x）≤3的解集M=[a-3，a+3]．
由題意可得[0，4]⊆M，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3≤0}\\{a+3≥4}\end{array}\right.$，求得1≤a≤3．
（Ⅱ）當a=2時，f（x）=|x-2|，設g（x）=f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|．
由|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5（當且僅當-3≤x≤2時等號成立），可得g（x）的最小值為5．
因此，若g（x）=f（x）+f（x+5）≥m對x∈R恒成立，知實數(shù)m的取值范圍是（-∞，5]．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．